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Problemas del Mes π (2019)

Le ♦invitamos a participar en la resolución de los problemas matemáticos publicados durante nuestro primer:

Mes π ← [3‘14→4‘13]

(mar/14-abr/13), en celebración del Día π, y con especial consideración a la iniciativa presentada en el Senado de la República Mexicana (aún por aprobar), de celebrar cada día 13 de abril, como el ⇒Día Nacional de las Ciencias Matemáticas. ♦No hay fecha límite para la recepción de sus propuestas de solución (ver observación 3 en tabla).

Tercer columna⇒Rev. 9:00 PM (PT), Mzo. 15, 2020
Fecha de publica-ción

Problemas (2019)

 Fecha de solución correcta recibida (Nombre del participante, Institución, País)
marzo 14, 2019 H1. Determine una expresión exacta (en términos de π) del ángulo en radianes entre las manecillas de un reloj de 24 horas, justo en el momento en que la hora sea π.  ♦2019.08.12 (Javier García Picazo, ITT/TecNM, México)

Ver Obs. (6)
marzo 21, 2019 H2. ¿Cuál es la longitud menor* de una trayectoria que permita bisectar** un triángulo equilátero de lado unitario? (basado en un problema de P. Halmos)

*En la solución, favor de argumentar o justificar, que la trayectoria propuesta es la de menor longitud posible.

**Bisectar aquí implica, dividir el área original en dos regiones, c/u con la mitad de dicha área.

 Pendiente de recibir.

Ver Obs. (3)
marzo 28, 2019 H3. Considere un triángulo equilátero de lado 4\pi^2 unidades, formado por los vértices AC_0B, y el punto M como el punto medio del segmento AB. Si C_k para  k=1,\cdots,39; son puntos intermedios del segmento MC_0, que cumplen la ecuación recursiva |MC_k|=\gamma |MC_{k-1}|; determine el valor de \gamma, tal que la suma de las longitudes de los arcos angulares \widehat{AC_kB} (k=0,1,\cdots ,39) sea igual a 2019\pm \pi^{-6} unidades. ♦2019.08.12 (Javier García Picazo, ITT/TecNM, México)

Ver Obs. (6)
abril 04, 2019 H4. Considerando los números complejos definidos por z_j=f(j) \mathbf{cis}(\dfrac{\pi}{9}(j-1)), para j=1,2,\cdots,18; donde f(j)=\pi^2\dfrac{1-r}{1-r^{18}}r^{j-1}, determinar el valor del número real r (0<r<1) tal que si z=z_1+z_2+\cdots+z_{18}, entonces arg(z)=\dfrac{\pi}{4}. ♦2019.08.16 (Javier García Picazo, ITT/TecNM, México)

Ver Obs. (6)
Observaciones:

(0) Propósito: practicar y disfrutar del proceso de resolución de problemas matemáticos así como (especialmente) la comunicación de sus soluciones. (Ref: Sfard, Anna (2012) Participationist discourse on mathematics learning.)

(1) Cualquier persona que lo desee (p. ej. alumno, maestro o egresado, de los niveles medio superior o superior, entre otros; de cualquier país)  puede enviar su solución. Favor de dirigirla a:  halmos@cemati.org (nota: si un problema particular no es al menos parcialmente nuevo para usted, se sugiere seleccionar otro de los problemas en el cual pueda experimentar y disfrutar las diferentes etapas en el proceso de resolución, y evitar así realizar tan sólo la reproducción de una solución conocida previamente (Cf. ⇒John Mason, Cita de Eduardo Chillida y The State of Being Stuck de Ben Orlin).

(2) Al  enviar su solución, favor de incluir el desarrollo de la misma, utilizando un archivo PDF adjunto a su correo, o bien imágenes legibles del desarrollo de su solución.

(3) No hay fecha límite para la recepción de propuestas de solución, para aquellos problemas cuya solución correcta aún no se haya recibido, según conste en la tercer columna de la presente tabla.

(4) Se publicarán sólo la fecha y el nombre del primer participante que haya resuelto correctamente un problema dado, y que haya enviado la solución adjuntando su desarrollo correspondiente, así como los nombres de los participantes cuya solución correcta se haya recibido durante las 48 horas siguientes a la primera solución recibida. Por lo anterior, favor de revisar la tercer columna de esta tabla, antes de enviar su propuesta de solución. (ver también (6) más abajo)

(5) Algunos de los problemas podrían requerir el apoyo de programación numérica. Referencias sugeridas: ⇒[Abelson] y [Racket Math Library], [Conte–Book] y [Moler].

(6) Se publicarán las soluciones una vez que se hayan recibido las soluciones correctas a los cuatro problemas, y se editen según sea necesario, para su mejor exposición.

(7) Para quienes estén interesados en reflexionar sobre la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, sugerimos el artículo: La Enseñanza de la Resolución de Problemas—Paul R. Halmos.

♦Esté pendiente para competir en el I Concurso Halmos,  que se proyecta realizar DM, durante el mes π del año 2021. Observación: Se está considerando la alternativa de realizar el evento el 3/marzo (día \lfloor\pi\rfloor}+\dfrac{\lfloor \pi \rfloor}{100} ó 1.01 \lfloor \pi \rfloor, o bien \pi^{0.9685}. Claro, siendo estrictos, como \pi^{0.99} para obtener aprox. 3.1058 (donde 0.1058 corresponde a la mañana del tercer día de los treinta y uno de marzo), en conmemoración al natalicio del Matemático Profesor Paul R. Halmos (obm. 1916-2006). Sin embargo, es necesario considerar también la declaración de la UNESCO: Proclamación de un Día Internacional de las Matemáticas.

Gracias de antemano por su participación.